Получаем данные о категории (таксономии), которой принадлежит запись

Для стандартной категории

$cats = get_the_category( $post );

Вернет массив объектов WP_Term с данными о каждой рубрике, к которым прикреплена запись (пост).

$post - ID или объект записи

Для произвольной таксономии

$terms = get_the_terms( $post, 'tax_name' );

Вернет массив объектов WP_Term с данными о каждом терме указанной таксономии, к которым прикреплена запись.

$post - ID или объект записи
tax_name - название таксономии